3/8 UNF - это в дрелях буржуйских патрон накручивается, в магазинах электроинструмента переходники есть 3/8 на M12 x 1.25 (но эта резба тоже нестандартная из-за шага). Можно ещё у сантехников потолкаться, иногда резьбы такие бывают.
Стандартный шаг для M12 - это 1.75. Гайку M12 x 1.25 можно найти в магазинах метизов, я по крайней мере нашел M12 x 1.5 (манометры обычно с такой резьбой).

но эта ж гайка когда-то на что-то накручивалась? Я так понял в подсаке?

Вообще шаг у гайки проверяется так. Продавщица в магазине метизов надела гайку на измеритель шага, держа его горизонтально (несколько таких "пилочек" с разными зубцами) и "прокрутила" гайку на нём. Если шаг именно такой, то гайка должна перемещаться легко без перекосов и отрыва от измерителя.

а гайка что, на палке?

А нельзя насадить сверху что-нибудь с нормальной резьбой?

Не обязательно.
Я имею в виду плотно насадить, просверлить отверстия и повкручивать маленькие саморезы или шпильки сбоку штук 4. Как на метлах наконечники делаются. Но внутри чтобы была уже резьба.

Просто Трёп [игнорируется] 

да, это минус. Чуть-чуть будет выступать.

а у нас дорого (6хх грн.)
если у тебя эти плашки недорого, то из стандартного болта с полной резьбой подходящей длины и чуть большей толщины (на М12 где-то) спилить напильником резьбу, это гораздо легче чем просто стержень стачивать до исчезновения витков. Если витки стачивать равномерно (это на глаз хорошо будет видно), то заметных косяков не получится, обработка будет близка к заводской. Посмотреть параметры резьбы, просверлить в чем-нибудь отверстие соответсвующее наибольшему диаметру резьбы, проверить что сточенный болт проходит через него. Затем нарезать резьбу на болте. Правда, еще надо и плашкодержатель, который тоже не очень дешевый. Другого пути не вижу.

Просто Трёп [игнорируется] 

не парься, покупай плашку если у тебя они недорого. Другого ничего не выйдет.

А тот обломок, который надо присоединить, наверное полая трубка, тогда интересно знать наружный и внутренний диаметр. Скорее всего тонкостенная пластмассовая трубка...если получился обломок :)

о, ну тогда делать шпильку из дюрали (лучше) или стали (похуже) с резьбой этой самой 3/8 BSF сантиметров 15-20-25 длиной, то что вкрутиться то вкрутится, остальное оставить пару см на "переходник" (может, плоскогубцами придется откручивать) и дальше стачивать витки резьбы пока второй конец плотно не войдет в обломок. Потом
1)просверлить взаимно перпендикулярные отверстия поближе к концам вставленного учатска шпильки не доходя до краев 1.5 - 2 см и заклепать (но там надо углубления под потай еще делать чтобы концы гвоздиков не царапались и было под заклепку место и шляпку гвоздиков лучше на конус чуть сточить),
2)или под саморезы но там точно надо отверстия делать под каждый тип самореза специфическое, дело тонкое.
3)Или винты с нарезкой резьб, но могут раскручиваться. И м3 великоваты будут, лучше 2-2.5, но там с метчиками и сверлами повозиться придется
4) Или сквозные шпильки, но гайки будут торчать.
5) Если плотно подогнать стачивание резьбы, то можно просто на хорошем клею вогнать, но тут в темпе надо и заранее проверить "на сухую". Остатки витков резьбы усилят сцепление. Но тут надо не очень быстро застывающий клей
6) Может быть по остаткам резьбы удастся плотно накрутить обломок на шпильку, если он из тонкого алюминия
7) Можно с нагреванием экспериментировать, но я бы не рисковал из-за вероятности испортить.
Но это всё при условии, что внутренний диаметр обломка <= 9.5 см.
Пруток толщиной 9.5 вряд ли удастся найти, то лучше как я писал выше отталкиваться от длинного болта на М12 с полной резьбой и не обрабатывать участок "переходника" вообще для большей прочности и большего диаметра захвата плоскогубцами. Арматура диаметром 10 не очень, там сталь как правило говно и диаметр некалиброванный. Ну может трубка толстостенная какая-нибудь найдется.
Дело прояснится, если узнать точно внутренний диаметр обломка. Штангелем такие внутренние диаметры трудно замерить, лучше поочередно вставлять хвостовики сверел разных диаметров, это значительно более достоверно.

+ на участке, вставляемом в обломок, резьбу можно нарезать любую, не обязательно китайскую. M10 стандартную - меньше предварительно стачивать придется и быстрее будет. Шаг у неё больше, быстрее пойдет нарезка, и глубина возможного стачивания тоже (минимальный диаметр меньше).

Нет, у М10 минимальный диаметр 8.4, а у 3/8 BSF - 7.9

Чтобы обломок надежно держался, не шатался и не ломался дальше, то следует иметь в виду что шпилька должна заходить не менее 15 см, а лучше на 20.